penerapan barisan deret aritmetika dan geometri

Penerapan Soal barisan deret aritmetika dan geometri

Soal Dan Pembahasan

1. Tempat duduk gedung pertunjukan film diatur mulai dari baris depan ke belakang dengan banyak baris di belakang lebih 4 kursi dari baris di depannya. Bila dalam gedung pertunjukan itu terdapat 15 baris kursi dan baris terdepan ada 20 kursi, kapasitas gedung tersebut adalah ⋯⋅

A. 1.200 kursi               D. 600 kursi
B. 800 kursi                  E. 300 kursi
C. 720 kursi

Dari masalah di atas, jumlah kursi pada tiap barisnya membentuk barisan aritmetika dengan suku pertama $a=20,b=4$, dan $n=15$. 
Dengan demikian, diperoleh
$\begin{array}{cc}{\text{S}}_n& =\frac{n}{2}(2a+(n-1\left)b\right)\\ {\text{S}}_{15}& =\frac{15}{2}(2\cdot 20+(15-1)\cdot 4)\\ & =\frac{15}{2}(40+56)\\ & =\frac{15}{2}\cdot {96}^{48}\\ & =15\cdot 48=720\end{array}$
Jadi, kapasitas gedung tersebut adalah $720\text{kursi}$
(Jawaban C)

2. Seutas tali dipotong menjadi 4 bagian, masing-masing membentuk barisan geometri. Jika potongan tali terpendek adalah 2 cm dan potongan tali terpanjang adalah 54 cm, panjang tali semula adalah ⋯ cm. 

A. 60                  C. 80                 E. 100

B. 70                  D. 90           

Panjangnya setiap potongan tali merupakan suku-suku dalam barisan geometri, dengan ${\text{U}}_1=a=2$ dan ${\text{U}}_4=54$. Dalam hal ini, akan dicari ${\text{S}}_4={\text{U}}_1+{\text{U}}_2+{\text{U}}_3+{\text{U}}_4$
Langkah pertama adalah menentukan rasionya.
$\begin{array}{cc}{\text{U}}_4& =a{r}^3\\ 54& =2r^3\\ 27& =r^3\\ r& =\sqrt[3]{327}=3\end{array}$
Jadi, rasio barisannya adalah $3$. Untuk itu, didapat
${\text{U}}_2=ar=2\cdot 3=6$
dan
${\text{U}}_3=a{r}^2=2\cdot 3^2=18$
Dengan demikian,
${\text{S}}_4=2+6+18+54=80$
Jadi, panjang tali semula (sebelum dipotong) adalah $80\text{cm}$  (Jawaban C) 

3. sebuah bakteri membelah diri menjadi dua setiap 20 menit.jika mula-mula ada 8 bakteri.maka banyak bakteri setelah 2 jam adalah

Barisan dan Deret Bilangan

Geometri

a=8
r=2

2 Jam = 120 menit
120 menit / 20 menit =6
n+1=7 => ditambah 1 karena mula mula 8 bakteri ikut dihitung.

Uₙ=a.rⁿ
U₇=a.r⁷⁻¹
=8.2⁶
=8.64
=512 bakteri

Mula mula = 8 bakteri =>U1
20 menit ke 1 = 16 bakteri => U2
20 menit ke 2 = 32 bakteri => U3
20 menit ke 3 = 64 bakteri = > U4
20 menit ke 4 = 128 bakteri=> U5
20 menit ke 5 = 256 bakeri=> U6
20 menit ke 6 = 512 bakteri = > U7

Jadi setelah 2 jam terdapat 512 bakteri.

4. Keuntungan seorang pedagang bertambah setiap bulan dengan jumlah yang sama. Jika keuntungan pada bulan pertama sebesar Rp46.000,00 dan pertambahan keuntungan setiap bulan Rp18.000,00, maka jumlah keuntungan sampai bulan ke-
$12$ adalah $\cdots \cdot$
A. Rp1.740.000,00
B. Rp1.750.000,00
C. Rp1.840.000,00
D. Rp1.950.000,00
E. Rp2.000.000,00

Dari masalah di atas, jumlah keuntungan yang diperoleh setiap bulannya membentuk barisan aritmetika dengan suku pertama $a=46.000,b=18.000$, dan $n=12$. 
Dengan demikian, diperoleh
$\begin{array}{cc}{\text{S}}_n& =\frac{n}{2}(2a+(n-1\left)b\right)\\ {\text{S}}_{12}& =\frac{{12}^6}{2}(2\cdot 46.000+(12-1)\cdot 18.000)\\ & =6(92.000+198.000)\\ & =6\left(290.000\right)=\mathrm{1.740.000}\end{array}$
Jadi, jumlah keuntungan pedagang itu sampai bulan ke-$12$ adalah $\text{Rp}\mathrm{1.740.000},00$
(Jawaban A)